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Tutte le schede di esercitazione

CHECK MATH FOR ITIS ROSSI
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NUMERI, OPERAZIONI ED ESPRESSIONI

Numeri verosimili e inverosimili NUM10_NUMERIADEGUATI
Operazioni con il 10 NUM20_OPERAZIONI_CON_IL_10
Dal linguaggio naturale al linguaggio matematico 1 NUM30_TRADUZIONI
Dal linguaggio naturale al linguaggio matematico 2 NUM40_TRADUZIONI
Esercizi sulle Potenze 1 NUM50_POTENZE
Esercizi sulle Potenze 2 NUM60_POTENZE2
Ordine delle operazioni NUM70_ORDINEOP
Operazioni e proprietà dello zero NUM80_ZERO

SISTEMA INTERNAZIONALE DELLE MISURE

Il Sistema Internazionale prefissi, multipli e sottomultipli SI10_SISTEMA_INTERNAZIONALE
Equivalenze già svolte SI20_EQUIVALENZESVOLTE
Equivalenze già svolte per misure di superficie e di volume SI30_EQUIVALENZESVOLTE2
Esercizi equivalenze 1 SI40_EQUIVALENZE_ESE
Esercizi equivalenze 2 SI50_EQUIVALENZE_ESE2

EQUAZIONI E FORMULE INVERSE

Guida alle formule inverse EQ10_FORMULEINV
Esercizi formule inverse EQ20_FORMULEINV_ESE
Equazioni e principi di equivalenza EQ30_EQUAZIONIESE
Equazioni determinate, indeterminate e impossibili EQ40_EQUAZIONIESE2

GEOMETRIA

Test di geometria GEO10_TEST

 

 

 

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Le equazioni e le formule inverse

Spesso in geometria o in fisica o in chimica è richiesto di invertire una formula.
Ad esempio si vuole ricavare l’altezza del trapezio dalla formula diretta dell’area

Una formula può essere vista come una equazione la cui incognita è l’incognita del problema, nel nostro caso h è l’incognita mentre le altre lettere sono parametri noti.

Per risolvere un’equazione si utilizzano i principi di equivalenza delle equazioni che consentono di:
p1) sommare o sottrarre ad entrambi i membri di una equazione uno stesso termine (addendo)
p2) moltiplicare o dividere entrambi i membri di una equazione per uno stesso fattore diverso da zero

Ci sono anche altri principi utili che derivano dai precedenti
p3) trasportare un termine da un membro all’altro cambiandogli il segno
p4) scambiare il primo membro con il secondo membro
p5) cambiare segno a tutti i termini dell’equazione

Se le equazioni sono di primo grado rispetto all’incognita prescelta si procede sempre così
1) eliminare eventuali denominatori (p2)
2) eliminare le eventuali parentesi svolgendo i dovuti calcoli
3) trasportare a primo membro i termini che contengono l’incognita (p3)
4) trasportare a secondo membro i termini che non contengono l’incognita (p3)
5) isolare l’incognita (dividere entrambi i membri per il coefficiente dell’incognita) (p2)

Nota 1. Spesso molti passaggi non sono necessari, focalizzare sempre la posizione dell’incognita.
Nota 2. In presenza di più denominatori è necessario calcolare il minimo comune denominatore.
Nota 3. Se a primo membro l’incognita è presente in più termini raccogliere a fattor comune l’incognita.
Nota 4. Se l’incognita isolata non è di primo grado estrarre la corrispondente radice.

Alcuni esempi
Ricavare b
trasportare tutti i termini senza l’incognita a secondo membro

isolare l’incognita b dividendo entrambi i membri per il coefficiente di b cioè x

Ricavare T1
eliminare le parentesi e svolgere i calcoli
trasportare i termini con l’incognita T1 a primo membro e i termini senza incognita a secondo membro
isolare l’incognita T1 dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente mc

Ricavare c
l’incognita c deve stare a primo membro, scambiare i due membri
isolare l’incognita c dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente

Schede di approfondimento ed esercizi
Le formule inverse con esercizi svolti EQ10_FORMULEINV
Esercizi sulle formule inverse EQ20_FORMULEINV_ESE
Esercizi sulle equazioni e i principi di equivalenza EQ30_EQUAZIONIESE
Esercizi sulle equazioni determinate, indeterminate e impossibili EQ40_EQUAZIONIESE2

Le potenze

Definizione di potenza con esponente naturale

an = a·…·a, con n numero naturale e a reale

Altre definizioni

a1 = a,
a0 = 1 purchè a≠0,
00 non ha significato

Potenza con esponente negativo
Posto a≠0 e b≠0 e n naturale si hanno anche queste definizioni


Proprietà delle potenze

Prodotto di due potenze con stessa base

Quoziente di due potenze con stessa base

Potenza di potenza

Prodotto di due potenze con stesso esponente

Quoziente di due potenze con stesso esponente

Potenza di una frazione
Riscrivendo in modo opportuno la quinta proprietà delle potenze si possono calcolare potenze di frazioni

Potenze nel calcolo letterale
Riscrivendo in modo opportuno la quarta proprietà delle potenze si possono calcolare potenze di prodotti con fattori letterali

Esempi

Esempio nel campo della fisica

Schede di approfondiomento ed esercitazioni
Potenze 1 NUM50_POTENZE
Potenze 2 NUM60_POTENZE2
Operazioni e potenze con il 10 NUM20_OPERAZIONI_CON_IL_10

Risorse esterne
Brevi videolezioni sulle proprietà delle potenze, pagina

Raccolta di videolezioni sulle proprietà delle potenze

Una raccolta di brevi videolezioni sulle proprietà delle potenze con base razionale ed esponente intero.

Uso delle parentesi nelle potenze razionali

Proprietà del prodotto di potenze con stessa base

Proprietà del quoziente di potenze con stessa base

Proprietà della potenza di potenza

Proprietà del prodotto di potenze con stesso esponente

Proprietà del quoziente di potenze con stesso esponente

Potenze con esponente negativo

Presentazione degli obiettivi del precorso

Come sai fra le materie della classe prima di un istituto tecnico come il “Rossi” ci sono anche FISICA e CHIMICA.
Nel corso dell’anno dovrai risolvere dei problemi. Il precorso è una traccia di come affrontare un problema (di fisica o di chimica) e ti fornisce alcune dritte su quali argomenti di matematica possono esserti utili per iniziare bene l’anno scolastico.

Problema di Fisica
Se immergo un cubo di plastica di massa 4 hg, il cui lato misura 22 cm, in un contenitore riempito d’acqua, sai dirmi come si comporterà il cubo?

blocco_di_plastica_2

1) Sai leggere il testo del problema? Capisci quello che sta succedendo? Sai individuare i dati forniti dal problema? I dati forniti sono realistici? I dati forniti sono correttamente dimensionati? Capisci quello che ti viene richiesto?

Un corpo (di plastica e a forma di cubo) viene posto in acqua. Si vuole capire se questo galleggerà o affonderà. Il corpo ha MASSA 4hg=0,4Kg (Sistema Internazionale). Lo SPIGOLO del cubo misura 22 cm = 0,22 m (Sistema Internazionale).
eye-math Le Operazioni e le espressioni
Il Sistema Internazionale delle misure
Le Equivalenze

2) Sai disegnare uno schema grafico semplificato che rappresenta il fenomeno in esame?

Sappiamo che il cubo è un solido geometrico con particolari caratteristiche: tutte le sue facce sono quadrati di lato L; il suo volume è V=L3 , la sua superficie è S=6L2.

eye-math Le costruzioni geometriche piane e solide

3) Sai dedurre il modello fisico del fenomeno in esame?

Principio_di_Archimede_spinta_e_pesoDa un punto di vista fisico sappiamo che il corpo è sottoposto a due forze: la forza peso che lo spinge verso il basso e la forza detta spinta di Archimede che lo spinge verso l’alto. Le due forze vanno rappresentate nello schema con due vettori applicati sul corpo. Le due forze hanno una certa intensità, una stessa direzione ma verso opposto (il peso verso il basso, la spinta verso l’alto):

Clicca sull’applet per sperimentare il Principio di Archimede

Se il Peso é maggiore della Spinta ( P>A) allora il corpo AFFONDA

  • se il peso è uguale alla Spinta (P=A) allora il corpo rimane in equilibrio sotto il livello dell’acqua.
  • Se il peso é minore della Spinta ( P<A) allora il corpo sale fino a raggiungere la posizione di GALLEGGIAMENTO, il corpo emergerà in modo che si formi un equilibrio tra il suo peso e la residuale spinta di Archimede della parte di corpo immerso nel liquido.

Nota. Nel sistema Internazionale la forza è misurata in Newton (N=kg m/s2)

4) Sai dedurre gli ingredienti matematici ad esso associati?

E’ necessario ricordare le leggi fisiche che descrivono i fenomeni in questione.

Forza Peso: P=mg,
P è il peso del corpo [N], m è la massa del corpo[Kg], g= 9,81 m/s2 è l’accelerazione di gravità
P= mg = 0,4 kg x 9,81 m/s2 = 3,9 kg m/s2=3,9 N

Spinta di Archimede: A=mLiqg=Vdg=VPs
A è la spinta di Archimede [N], mLiq è la massa del liquido spostato a causa dell’immersione [Kg], V è il volume del liquido spostato (che coincide con il volume del corpo immerso completamente in acqua), d=1000 Kg/m3 è la densità dell’acqua, Ps è il peso specifico dell’acqua [N/m3.]

A = V d g = (0,22 m)3 x 1000 kg / m3 x 9,81 m/s2=
=(22X10-2m)3 x 1000 kg / m3 x 9,81 m/s2=
= 10648 X10-6m3 x 103 kg / m3 x 9,81 m/s2 = 104,5 kgm/s2 = 104,5N

Da un punto di vista matematico queste sono equazioni, proporzioni, formule, espressioni letterali, operazioni numeriche … .

Poichè A= 104,5N è maggiore di P=3,9N, la spinta è maggiore del peso, dunque il corpo tenderà a salire fino a raggiungere la posizione di galleggiamento in cui P = A, cioè c’è equilibrio tra il peso del corpo e la residuale spinta di Archimede relativa alla parte del corpo ancora immersa in acqua.

eye-math Le Operazioni e le espressioni

Troviamo ora la posizione di galleggiamento

schema-archimede3Forza Peso P= mg = 3,9N

Spinta di Archimede residuale A = V d g

In questo caso il volume V del liquido spostato equivale al parallelepipedo di base L2 e altezza h non nota quindi

A = L2 h d g

Equilibrio A = P quindi L2 h d g = mg

L’ultima è una equazione letterale la cui unica incognita è h. Ricaviamo h mediante le formule inverse.

eye-math Le equazioni e le formule inverse

Presentazione del precorso

Paperino-MatematicaNessuna scienza quanto la fisica ci spiega come funziona il mondo. Ci svegliamo al mattino e, in un breve intervallo di tempo, abbiamo contatti, più o meno marginali, con tutte le branche della fisica. La meccanica (blocchiamo la suoneria della sveglia, scendiamo dal letto, andiamo in cucina), la termodinamica (riscaldiamo il latte), l’acustica (abbiamo sentito la sveglia, ascoltiamo la radio), l’ottica (da subito, aprendo gli occhi), l’elettricità (accendiamo la luce), l’elettromagnetismo (mettiamo in funzione la radio) e l’astrofisica (osserviamo il sole, la luna e le stelle). Questi e tanti altri esempi pratici per capire che la Fisica, la Chimica pervadono la vita di tutti i giorni.

Per gli studenti di una scuola tecnica, che non vogliono semplicemente osservare i fenomeni naturali ma vogliono costruire strumenti che tali fenomeni controllano, è anzitutto importante capire gli ingredienti matematici che descrivono i fenomeni fisici e chimici. La grande sfida per oggi è essere coscienti che la matematica non è un giochino inutile fatto di formule al contrario è uno strumento indispensabile per capire, descrivere, vivere e controllare la vita di tutti i giorni.

A tutti quindi buon precorso, gli insegnanti dell’itis Rossi.